Производная многочлена и ее свойства

Пусть: $$f(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \dots + a_{1}x + a_{0} \in \mathbb{F}[x]$$ Тогда **формальной производной** называется: $$f'(x) = na_{n}x^{n-1} + (n-1)a_{n-1}x^{n-2} + \dots + 2a_{2}x + a_{1}$$ Ясно, что $\deg f' < \deg f$. Если $\operatorname{char} \mathbb{F} = 0$ и $\deg f > 0$, то $\deg f' = \deg f - 1$

Для $f, g \in F[x]$ и $\alpha \in F$: 1. $(f + g)' = f' + g'$ 2. $(\alpha f)' = \alpha f'$ 3. $(fg)' = f'g + fg'$ 4. $(f^k)' = kf^{k-1}f'$ для $k \in \mathbb{N}$

**Свойство 1** Пусть $f = \sum_{i=0}^{n} a_i x^i$, $g = \sum_{j=0}^{m} b_j x^j$. Коэффициент $c_k$ для $(f+g)$ есть $a_k + b_k$. Тогда: $$(f + g)' = \sum_{k=1}^{\max(n,m)} k(a_k + b_k) x^{k-1} = f' + g'$$ **Свойство 2** $(\alpha f)' = \alpha f'\colon$ $$(\alpha f)' = \sum_{k=1}^{n} k(\alpha a_k) x^{k-1} = \alpha \sum_{k=1}^{n} k a_k x^{k-1} = \alpha f'$$ **Свойство 3** По свойству 1, достаточно доказать утверждение для $f = x^{m},~ g = x^{n}$, тогда: $$\left. \begin{array} \\ (fg)' = (x^{m+n})' = (m+n)x^{m+n-1} \\ f'g + fg' = mx^{m-1}x^{n} + nx^{m}x^{n-1} \end{array} \right| \implies (fg)' = f'g + fg'$$ **Свойство 4** Индукция по $k$. База ($k=1$): $(f^1)' = f' = 1 \cdot f^0 \cdot f'$. Шаг: $$ (f^{k+1})' = (f \cdot f^k)' = f' f^k + f \cdot (f^k)' = f' f^k + f \cdot (k f^{k-1} f') = (k+1) f^k f' $$ $\square$

Пусть $\operatorname{char} F = 0$ и $f \in F[x]$ — неприводимый многочлен. Тогда $\operatorname{НОД}(f, f') = 1$

Пусть $d = \operatorname{НОД}(f, f')$ и $d \neq 0$. Тогда $d \mid f$ и $d \mid f'$. Поскольку $f$ неприводим, $d$ — либо константа, либо ассоциирован с $f$. Если $d$ ассоциирован с $f$, то $f \mid f'$. Но $\deg f' = \deg f - 1$ при $\operatorname{char} F = 0$, т.е. многочлен большей степени делит многочлен меньшей степени, что невозможно. Следовательно, $d$ — константа $\iff \operatorname{НОД}(f, f') = 1$. $\square$